Octubre

Geometría analítica en R³

Función implícita de dos variables 

• Geométricamente representa una curva en el plano R²

 Cada función implícita genera una curva en el plano
F(x,y)=0

G(x,y)=0

Sistemas de funciones implícitas genera una intersección de curva (puntos)

Función implícita de tres variables

Categorización de variables: determinar el número de variables dependientes y el número de variables independientes

Ejemplo:

Sea x²+y²+z²=25       f(x,y,z)=0

•           Geométricamente representa una superficie en R3

F(x, y, z) es de primer orden es decir F ( 1,1,1 )entonces representa un plano

F₁(x,y,z)=0  ^   F₂(x,y,z)= 0  Sistema de funciones genera intersección (curvas)

 La recta en R³  

 Ecuación vectorial de la recta

 

Sea P(x₁, y₁) es un punto de la recta r y su vector director, el vector tiene igual dirección que , luego es igual a multiplicado por un escalar:

Ecuaciones paramétricas de la recta

Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

 

Clase 2

Distancia de un punto a una recta 

El plano en 3D

Ecuación vectorial del plano:

 Ecuacción general del plano:

Ecuación normal del plano

 Ecuación normal del plano y factor normalizante:

Clase 3

Plano determinado por tres puntos

 

 

Producto punto:

Dados tres vectores   , ,  llamamos producto mixto, lo cual se expresa ,  al producto escalar de por :

  Por lo tanto,  viene expresado por:

 

 

Observaciones:

• Si el producto mixto es igual a cero, entonces los tres vectores son coplanares.

• Geométricamente el producto mixto representa el VOLUMEN del paralelepipedo, cuyas aristas son los 3 vectores.

Distancia de un punto a un plano

 

Recta determinada por dos planos

  Hasta ahora hemos visto la ecuación de una recta en coordenadas paramétricas y en cartesianas. Ahora vamos a ver también que dados dos planos que se intersectan definen una recta.

   Entonces una pareja de dos planos define una recta:

 

Haz de planos

  Dada una pareja de planos que se intersectan, hay otros infinitos planos que también se intersectan en esta recta, a todos ellos se les denomina "haz de planos", su ecuación general es:

 

Ecuación vectorial de la superficie esférica

 

Clase 4

Superficie en tres dimensiones

SUPERFICIES DE SEGUNDO ORDEN
Considerando sistemas coordenados rotando o transladando los ejes se pueden obtener ecuaciones mas sencillas:

Clase 5

Análisis de las superficies en tres dimensiones

I)   Intersección con loes ejes coordenados
II)  Intersección con los planos
III) Intersección con los ejes paralelos a los planos coordenados

Clase 6

En esta clase rendimos la primera prueba del primer bimestre.

Clase 7

Funciones vectoriales

Se llama función vectorial a cualquier función de la forma

donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales.

 Límite

Se requiere que exista cada uno de los límites, cuando t tiende a 0 de las funciones f1(t),f2(t),f3(t). Si alguno no existe entonces no exite límite de la Función. 

 Continuidad

 

Derivadas

La derivada de una función vectorial r es

Si r(t)= < f(t), g(t), h(t)>, en donde f,g,h son diferenciables, entonces

r'(t) =< f'(t). g'(t).h'(t)>

 

Integrales

Clase 8

Triedro móvil

 

Recta tangencial

Recta binomial

Recta normal principal

Plano osculador

Plano rectificador

Plano normal

 

Clase 9 

Realizamos un taller al inicio de la clase.

Vector tangente unitario

Vector tangente binomial

Vector normal principal

 

ECUACIONES FRENET

Clases de curvatura

La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice que es más grande la curvatura. Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura es igual a:

La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene. Para el caso general la torsión viene dada por: