Puntos extremos
Máximos y mínimos
Relativos
Absolutos
Condicionados
MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS
* Sea z=f(x,y) una función de dos variables, se dice que f (x,y) tiene un máximo relativo (MR) en (a,b), si se cumple:f (x,y) < f (a,b) cuando (x,y) se acerca a (a,b)
* Si se cumple que f (x,y) > f (a,b) cuando (x,y)se acerca a (a,b), entonces se dice que f (x,y) tiene un mínimo relativo (mr) en (a,b)
Punto de silla: Un punto de silla es aquel punto donde f (x,y) presenta un MR con respecto a una variable y un mr con respecto a la otra.
Cálculo de los extremos relativos
Criterio de la segunda derivada
1. Hallar las derivadas parciales fx,fy
2. Hallar los puntos críticos fx=0 y fy=0
3. Hallar las derivadas de segundo orden: fxx ; fxy ; fyy
4. Determinar:
5. Evaluar el determinante JESSIANO
En caso de (c)
el punto (a,
b) se llama punto silla de f y la gráfica de f cruza el plano tangente en (a, b).
Si D = 0,
la prueba no proporciona información: f podría tener un máximo relativo o un mínimo
relativo en (a, b), o bien, (a,
b)
podría ser un punto silla de f.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
*Toda función diferenciable en una región acotada y cerrada
alcanza su valor máximo (o mínimo), o en un punto estacionario o en un punto de
frontera de la región.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS CONDICIONADOS
Método de Multiplicadores de Lagrange
* Se
denomina extremo condicionado de una función f(x,y)
al máximo o mínimo de esta función alcanzando con la condición de que
las variables independientes estén relacionadas entre si mediante
la ecuación: g(x,y) = 0
F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)
donde:
* Se procede a hallar los puntos extremos para la Función de Lagrange.
* Si tenemos: U = f(x,y,z) ; g1(x,y,x)= 0 ; g2(x,y,z)= 0
F(x,y,z,λ1,λ2) = f(x,y,z) + λ1g1(x,y,z) + λ2g2(x,y,z)
Integrales Múltiples
En R2
En R3
La integral doble de f sobre el rectángulo R es
si existe el límite.
Integrales sobre Regiones Rectangulares
TEOREMA DE FUBINI Si f es continua en el rectángulo
En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada en R, f es discontinua sólo en un número finito de curvas uniformes y existen integrales iteradas.
Integrales sobre Regiones Generales
Transformación de Integrales Múltiples
* Coordenadas Polares
x = r cos( θ) (x,y)->(r,θ)
y = t sen( θ) |J| = r
* Coordenadas Cilíndricas
x = r cos( θ) (x,y,z)->(r,θ,z)
y = t sen( θ) |J| = r
*Coordenadas Esféricas
x = ρsen(Φ)cos( θ) (x,y,z)->(ρ,θ,Φ)
y = ρsen(Φ)sen( θ) |J| = ρ^2 sen(Φ)
Centro de Masa
* Se denomina centro de masa al punto donde se considera que está concentrada la masa de un cuerpo
Caso continuo
Distribución de masa superficial
Distribución de masa volumétrica
Momento de inercia
Campo vectorial
*Sea D un conjunto en R2, una región plana. Un campo vectorial sobre R2 es una función F que asigna a cada punto (x,y) en D un vector bidimensional F(x,y).
* Sea E un subconjunto de R3. Un campo vectorial sobre 3 es una función F que asigna a cada punto x, y, z en E un vector tridimensional F( x, y, z) .
APLICACIONES:
Campo gravitacional
INTEGRALES DE LÍNEA
Se define una integral que es similar a la integral simple, pero con la diferencia
de que en lugar de integrar en el intervalo a, b , integra en la curva C.
de que en lugar de integrar en el intervalo a, b , integra en la curva C.
Aplicaciones:
Masa, centro de masa, momentos e inercia
Integrales de Linea en el Espacio
Si f es una función de tres variables que es continua en alguna región que contiene a C, entonces la integral de linea a lo largo de f es:
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA
Independencia de la trayectoria
En general, si F es un campo vectorial continuo cuyo dominio es D, la integral de línea es independiente de la trayectoria si x para cualesquiera dos trayectorias C1 y C2 en D que tienen los mismos puntos iniciales y finales.
Con esta terminología, puede decir que las integrales de línea de campos vectoriales conservativos son independientes de la trayectoria.
Con esta terminología, puede decir que las integrales de línea de campos vectoriales conservativos son independientes de la trayectoria.
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