Noviembre

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

                                 f :       Rn                    -----------           R

                                    (x1,x2,x3 ....xn)       -----------          z =  (x1,x2,x3 ....xn)

• La representación gráfica de una función z=f(x,y) es una superficie en R3, dentro de su dominio de existencia.

DOMINIO DE DEFINICIÓN O CAMPO DE EXISTENCIA

•  El dominio desde f(x,y) existente es una región del plano XOY o todo el plano XOY

Análisis del dominio de definición

 I)    Análisis matemático

II)   Análisis gráfico

 III) Análisis descriptivo

 El dominio de la función son todos los pares ordenados, tales que sean mayores o iguales a la recta x+y+1=0, y que los puntos sobre la recta x = 1 tienen que ser excluidos del dominio.

 

GRÁFICA DE FUNCIONES

 

 

CURVAS DE NIVEL

Las curvas de nivel de una función f(x,y), son las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y)=k, donde "k" es una constantes en el rango de f(x,y); z = k 

• Si las curvas de nivel se representan en R3, entonces se denominan CURVAS DE CONTORNO .

•  Si w=f(x,y) y w=k representa una SUPERFICIE DE NIVEL 

 

LÍMITES Y CONTINUIDAD

LÍMITES

 

OBSERVACIONES:

• Si por dos caminos o trayectorias el valor del límite tiene un valor diferente, entonces se concluye que no existe límite.

• Si por dos o más caminos o trayectorias el valor del límite tiene el mismo valor , se supone que el límite existe y se debe proceder a demostrar su existencia.

• Los caminos elegidos para evaluar el límite debe contener al punto (a,b) de interés.

 CONTINUIDAD

 Se dice que una función f de dos variables es continua en a, b si

 f es continua en D si f es continua en todos los puntos a, b de D.

También i) Existe f(a,b)

             ii) Existe límite de f(x,y)

 

• Si no se cumple alguna de las condiciones entonces se dice que f(x,y) es discontinua en (a,b) y puede ser: Discontinua evitable o discontinua inevitable.        

  1) Discontinua inebitable: Cuando no existe limite.

   2) Discontinua eviatable: 

      si existe límite y no existe f(a,b)

      si existe límite y es diferente de f(a,b)

 DERIVADAS PARCIALES

OBSERVACIONES:

• Cuando derivamos parcialmente con respecto a "x", la variable "y" se asum como constante.
• Cuando derivamos parcialmente con respecto a "y", la variable "x" se asum como constante. 
• Se plican todan las reglas de las funciones de una sola variable. 

Tipos de interpretación 

•  Interpretación geométrica de las derivadas parciales.
•  Interpretación física  

PLANOS TANGENTES: a z=f(x,y)

Supongamos que f(x,y) tiene derivadas parciales de primer orden continuas. Entonces la tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto P(a,b,f(a,b)) es el plano que pasa por P que contiene las rectas tangentes a las dos curvas.
El vertor normal a este plano tangente será:
  

Por lo tanto la ecuación del plano tangente :

 

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 

Si z=f(x,y), entonces existen 4 derivadas parciales de segundo orden, 8 derivadas parciales de tercer orden, 2^n derivadas parciales de orden n.

Si z=(x,y,a), entonces existen  3^n derivadas parciales de orden n.